Løs frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}}

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$\frac{42}{11}\approx 3,818181818$$

Korte løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 4+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Vurder \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Kvadrer 4. Kvadrer \sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Trekk fra 5 fra 16 for å få 11.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Multipliser 4+\sqrt{5} med 4+\sqrt{5} for å få \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Legg sammen 16 og 5 for å få 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Gjør nevneren til \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 4-\sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Vurder \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrer 4. Kvadrer \sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Trekk fra 5 fra 16 for å få 11.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Multipliser 4-\sqrt{5} med 4-\sqrt{5} for å få \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Legg sammen 16 og 5 for å få 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Siden \frac{21+8\sqrt{5}}{11} og \frac{21-8\sqrt{5}}{11} har samme nevner, kan du legge dem sammen ved å legge sammen tellerne.

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Utfør beregningene i 21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}.

$$\frac{42}{11}$$

Faktoriser

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3,8181818181818183$$