Løs frac{3sqrt{5}}{1+2sqrt{5}}

$$\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 1 + 2 \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$\frac{30-3\sqrt{5}}{19}\approx 1,225884004$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{3\sqrt{5}}{1+2\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 1-2\sqrt{5}.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{\left(1+2\sqrt{5}\right)\left(1-2\sqrt{5}\right)}$$

Vurder \left(1+2\sqrt{5}\right)\left(1-2\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Regn ut 1 opphøyd i 2 og få 1.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Utvid \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1-2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1-4\times 5}$$

Multipliser 4 med 5 for å få 20.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{1-20}$$

Trekk fra 20 fra 1 for å få -19.

$$\frac{3\sqrt{5}\left(1-2\sqrt{5}\right)}{-19}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3\sqrt{5} med 1-2\sqrt{5}.

$$\frac{3\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-19}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{3\sqrt{5}-6\times 5}{-19}$$

Multipliser -6 med 5 for å få -30.

$$\frac{3\sqrt{5}-30}{-19}$$