Løs 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for å få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Trekk fra 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for å få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som -3x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -6.

$$-1,6 -2,3$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=3 b=-2$$

Skriv om -3x^{2}+x+2 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+1=0 og 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for å få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Trekk fra 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for å få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 1 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 1 og 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±5}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Forkort brøken \frac{4}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±5}{-6} når ± er minus. Trekk fra 5 fra -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Del -6 på -6.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for å få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Trekk fra 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for å få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$x-3x^{2}=-2$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Del 1 på -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Del -2 på -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Divider -\frac{1}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{2}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Legg til \frac{1}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$