Løs 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -6,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+6\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for å få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Trekk fra 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for å få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=12 b=-1$$

Skriv om -x^{2}+11x+12 som \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-12 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-12=0 og -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -6,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+6\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for å få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Trekk fra 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for å få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 11 for b og 12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 121 og 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±13}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Del 2 på -2.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±13}{-2} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Del -24 på -2.

$$x=12$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=12$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -6,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+6\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for å få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Trekk fra 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for å få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Trekk fra 12 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$11x-x^{2}=-12$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Del 11 på -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Del -12 på -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Del -11, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Legg sammen 12 og \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Legg til \frac{11}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=12 x=-1$$