Løs 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=0$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x for å få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Legg sammen -2 og 1 for å få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vurder \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Legg til 1 på begge sider.

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

Legg sammen -1 og 1 for å få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+3x=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 3 for b og 0 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 3^{2}.

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±3}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 3.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Del 0 på -2.

$$x=0$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±3}{-2} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Del -6 på -2.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=0 x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x for å få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Legg sammen -2 og 1 for å få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vurder \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Legg til 1 på begge sider.

$$3x-x^{2}=-1+1$$

Legg sammen -1 og 1 for å få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=0$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Del 3 på -1.

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

Del 0 på -1.

$$x^{2}-3x=0$$

Divider -3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=0$$