Løs 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

Evaluer

$$1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{2}{\sqrt{2}-2} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{2}+2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vurder \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Kvadrer \sqrt{2}. Kvadrer 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Trekk fra 4 fra 2 for å få -2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Eliminer -2 og -2.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Gjør nevneren til \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{2}+1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vurder \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Kvadrer \sqrt{2}. Kvadrer 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Trekk fra 1 fra 2 for å få 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Multipliser \sqrt{2}+1 med \sqrt{2}+1 for å få \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Faktoriser 32=4^{2}\times 2. Skriv kvadrat roten av produktet på nytt \sqrt{4^{2}\times 2} som produktet av kvadrat rot \sqrt{4^{2}}\sqrt{2}. Ta kvadratroten av 4^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

Del 4\sqrt{2} på 2 for å få 2\sqrt{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Du finner den motsatte av \sqrt{2}+2 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{2} er 2.

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Legg sammen 2 og 1 for å få 3.

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Legg sammen -2 og 3 for å få 1.

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Kombiner -\sqrt{2} og 2\sqrt{2} for å få \sqrt{2}.

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Kombiner \sqrt{2} og -2\sqrt{2} for å få -\sqrt{2}.

$$-\sqrt{2}+1$$

Faktoriser

$$1-\sqrt{2}$$