Løs frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Vurder \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Trekk fra 5 fra 4 for å få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multipliser 2+\sqrt{5} med 2+\sqrt{5} for å få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Legg sammen 4 og 5 for å få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Alt delt på-1 gir det motsatte. Du finner den motsatte av 9+4\sqrt{5} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-9-4\sqrt{5}$$