Løs frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Løs for b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Trinn for å løse lineære ligninger

Gjør nevneren til \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Vurder \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Trekk fra 3 fra 4 for å få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multipliser 2+\sqrt{3} med 2+\sqrt{3} for å få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Legg sammen 4 og 3 for å få 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Trekk fra a fra begge sider.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Ligningen er i standardform.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Del begge sidene på \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Hvis du deler på \sqrt{3}, gjør du om gangingen med \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Del 4\sqrt{3}-a+7 på \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Løs for a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$