Løs frac{2+sqrt{2}}{3+sqrt{2}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 3 + \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$\frac{\sqrt{2}+4}{7}\approx 0,77345908$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{2+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 3-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}$$

Vurder \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrer 3. Kvadrer \sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{9-2}$$

Trekk fra 2 fra 9 for å få 7.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 2+\sqrt{2} med hvert ledd i 3-\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Kombiner -2\sqrt{2} og 3\sqrt{2} for å få \sqrt{2}.

$$\frac{6+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Kvadratrota av \sqrt{2} er 2.

$$\frac{6+\sqrt{2}-2}{7}$$

Trekk fra 2 fra 6 for å få 4.

$$\frac{4+\sqrt{2}}{7}$$

Faktoriser

$$\frac{\sqrt{2} + 4}{7} = 0,7734590803390136$$