Løs 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}-x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Kombiner x og x for å få 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x+1 og kombinere like ledd.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{2}-1 med -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Kombiner -x^{2} og -2x^{2} for å få -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Legg sammen 1 og 2 for å få 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 2 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 4 og 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Del -2+2\sqrt{10} på -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{10} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Del -2-2\sqrt{10} på -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}-x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Kombiner x og x for å få 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x+1 og kombinere like ledd.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{2}-1 med -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Kombiner -x^{2} og -2x^{2} for å få -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Legg sammen 1 og 2 for å få 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$2x-3x^{2}=-3$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

Del 2 på -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

Del -3 på -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Legg sammen 1 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$