Løs 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 1,4 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), som er den minste fellesnevneren av x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner 4x og 4x for å få 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Trekk fra 4 fra -16 for å få -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x-20 med x-1 og kombinere like ledd.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Trekk fra 5x^{2} fra begge sider.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Legg til 25x på begge sider.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Kombiner 8x og 25x for å få 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Trekk fra 20 fra begge sider.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Trekk fra 20 fra -20 for å få -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -5 for a, 33 for b og -40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrer 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser -4 ganger -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 20 ganger -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Legg sammen 1089 og -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Ta kvadratroten av 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 2 ganger -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-33±17}{-10} når ± er pluss. Legg sammen -33 og 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Forkort brøken \frac{-16}{-10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-33±17}{-10} når ± er minus. Trekk fra 17 fra -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Del -50 på -10.

$$x=5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 1,4 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), som er den minste fellesnevneren av x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner 4x og 4x for å få 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Trekk fra 4 fra -16 for å få -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x-20 med x-1 og kombinere like ledd.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Trekk fra 5x^{2} fra begge sider.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Legg til 25x på begge sider.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Kombiner 8x og 25x for å få 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Legg til 20 på begge sider.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Legg sammen 20 og 20 for å få 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Del begge sidene på -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Hvis du deler på -5, gjør du om gangingen med -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Del 33 på -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Del 40 på -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Del -\frac{33}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{33}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{33}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{33}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Legg sammen -8 og \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Legg til \frac{33}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$