Løs 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Løs for x

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -8,-5,-2,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21 med x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21x+105 med x+8 og kombinere like ledd.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21 med x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21x-21 med x+8 og kombinere like ledd.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombiner 21x^{2} og 21x^{2} for å få 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombiner 273x og 147x for å få 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Trekk fra 168 fra 840 for å få 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21 med x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 21x+42 med x-1 og kombinere like ledd.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombiner 42x^{2} og 21x^{2} for å få 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombiner 420x og 21x for å få 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Trekk fra 42 fra 672 for å få 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7x+14 med x+5 og kombinere like ledd.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7x^{2}+49x+70 med x+8 og kombinere like ledd.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multipliser 21 med -\frac{1}{21} for å få -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -1 med x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -x+1 med x+2 og kombinere like ledd.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -x^{2}-x+2 med x+5 og kombinere like ledd.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -x^{3}-6x^{2}-3x+10 med x+8 og kombinere like ledd.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kombiner 7x^{3} og -14x^{3} for å få -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kombiner 105x^{2} og -51x^{2} for å få 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kombiner 462x og -14x for å få 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Legg sammen 560 og 80 for å få 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Legg til 7x^{3} på begge sider.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Trekk fra 54x^{2} fra begge sider.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kombiner 63x^{2} og -54x^{2} for å få 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Trekk fra 448x fra begge sider.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kombiner 441x og -448x for å få -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Trekk fra 640 fra begge sider.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Trekk fra 640 fra 630 for å få -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Legg til x^{4} på begge sider.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Skriv ligningen på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -10 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 på x-1 for å få x^{3}+8x^{2}+17x+10. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 10 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+8x^{2}+17x+10 på x+1 for å få x^{2}+7x+10. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 7 med b, og 10 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Løs ligningen x^{2}+7x+10=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-5 x=-2$$

Fjern verdiene som variabelen ikke kan være lik.

$$x=-1$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 1,-5,-2.

$$x=-1$$