Løs 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,\frac{1}{3} siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, som er den minste fellesnevneren av 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for å få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Trekk fra 16 fra 10 for å få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x+10 med 3x-1 og kombinere like ledd.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Trekk fra 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Trekk fra 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for å få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Legg til 10 på begge sider.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Legg sammen -6 og 10 for å få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -15x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 28.

$$a=30 b=-2$$

Skriv om -15x^{2}+28x+4 som \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktor ut 15x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+2=0 og 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,\frac{1}{3} siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, som er den minste fellesnevneren av 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for å få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Trekk fra 16 fra 10 for å få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x+10 med 3x-1 og kombinere like ledd.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Trekk fra 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Trekk fra 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for å få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Legg til 10 på begge sider.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Legg sammen -6 og 10 for å få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -15 for a, 28 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Kvadrer 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multipliser -4 ganger -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multipliser 60 ganger 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Legg sammen 784 og 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Ta kvadratroten av 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multipliser 2 ganger -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-28±32}{-30} når ± er pluss. Legg sammen -28 og 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Forkort brøken \frac{4}{-30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-28±32}{-30} når ± er minus. Trekk fra 32 fra -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Del -60 på -30.

$$x=2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,\frac{1}{3} siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, som er den minste fellesnevneren av 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for å få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Trekk fra 16 fra 10 for å få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x+10 med 3x-1 og kombinere like ledd.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Trekk fra 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Trekk fra 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for å få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Legg til 6 på begge sider.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Legg sammen -10 og 6 for å få -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Del begge sidene på -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Hvis du deler på -15, gjør du om gangingen med -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Del 28 på -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Del -4 på -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Del -\frac{28}{15}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{14}{15}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{14}{15} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{14}{15} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Legg sammen \frac{4}{15} og \frac{196}{225} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Legg til \frac{14}{15} på begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$