Løs 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Løs for x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn \frac{1}{3} for a, 6 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser -4 ganger \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser -\frac{4}{3} ganger -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Legg sammen 36 og 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ta kvadratroten av 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser 2 ganger \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Del -6+4\sqrt{3} på \frac{2}{3} ved å multiplisere -6+4\sqrt{3} med den resiproke verdien av \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{3} fra -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Del -6-4\sqrt{3} på \frac{2}{3} ved å multiplisere -6-4\sqrt{3} med den resiproke verdien av \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Multipliser begge sider med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Hvis du deler på \frac{1}{3}, gjør du om gangingen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Del 6 på \frac{1}{3} ved å multiplisere 6 med den resiproke verdien av \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Del 9 på \frac{1}{3} ved å multiplisere 9 med den resiproke verdien av \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Del 18, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 9. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 9 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Kvadrer 9.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Legg sammen 27 og 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Faktoriser x^{2}+18x+81. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Forenkle.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$