Løs 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn \frac{1}{3} for a, \frac{4}{5} for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kvadrer \frac{4}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser -4 ganger \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser -\frac{4}{3} ganger -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Legg sammen \frac{16}{25} og \frac{4}{3} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ta kvadratroten av \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multipliser 2 ganger \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{4}{5} og \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Del -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} på \frac{2}{3} ved å multiplisere -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} med den resiproke verdien av \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} når ± er minus. Trekk fra \frac{2\sqrt{111}}{15} fra -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Del -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} på \frac{2}{3} ved å multiplisere -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} med den resiproke verdien av \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Multipliser begge sider med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Hvis du deler på \frac{1}{3}, gjør du om gangingen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Del \frac{4}{5} på \frac{1}{3} ved å multiplisere \frac{4}{5} med den resiproke verdien av \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Del 1 på \frac{1}{3} ved å multiplisere 1 med den resiproke verdien av \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Del \frac{12}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{6}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{6}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{6}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Legg sammen 3 og \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Trekk fra \frac{6}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$