Løs 1/2-i+1-i/i(1+i)

$$\frac { 1 } { 2 - i } + \frac { 1 - i } { i ( 1 + i ) }$$

Evaluer

$$-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i=-0,6+0,2i$$

Løsningstrinn

Multipliserer både teller og nevner av \frac{1}{2-i} med komplekskonjugatet av nevneren 2+i.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{2^{2}-i^{2}}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

-1 er per definisjon i^{2}. Beregn nevneren.

$$\frac{1\left(2+i\right)}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multipliser 1 med 2+i for å få 2+i.

$$\frac{2+i}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Del 2+i på 5 for å få \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)}$$

Multipliser i ganger 1+i.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i+i^{2}}$$

-1 er per definisjon i^{2}.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i-1}$$

Endre rekkefølgen på leddene.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{-1+i}$$

Del 1-i på -1+i for å få -1.

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i-1$$

Trekk 1 fra \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i ved å trekke fra de tilsvarende reelle og imaginære delene.

$$\frac{2}{5}-1+\frac{1}{5}i$$

Trekk fra 1 fra \frac{2}{5} for å få -\frac{3}{5}.

$$-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$$

Reell del

$$-\frac{3}{5} = -0,6$$

Løsningstrinn

Multipliserer både teller og nevner av \frac{1}{2-i} med komplekskonjugatet av nevneren 2+i.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{2^{2}-i^{2}}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

-1 er per definisjon i^{2}. Beregn nevneren.

$$Re(\frac{1\left(2+i\right)}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multipliser 1 med 2+i for å få 2+i.

$$Re(\frac{2+i}{5}+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Del 2+i på 5 for å få \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i\left(1+i\right)})$$

Multipliser i ganger 1+i.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i+i^{2}})$$

-1 er per definisjon i^{2}.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{i-1})$$

Endre rekkefølgen på leddene.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i+\frac{1-i}{-1+i})$$

Del 1-i på -1+i for å få -1.

$$Re(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i-1)$$

Trekk 1 fra \frac{2}{5}+\frac{1}{5}i ved å trekke fra de tilsvarende reelle og imaginære delene.

$$Re(\frac{2}{5}-1+\frac{1}{5}i)$$

Trekk fra 1 fra \frac{2}{5} for å få -\frac{3}{5}.

$$Re(-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i)$$

Den reelle delen av -\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i er -\frac{3}{5}.

$$-\frac{3}{5}$$