Løs frac{1+2sqrt{3}}{2-sqrt{3}}

$$\frac { 1 + 2 \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } }$$

Evaluer

$$5\sqrt{3}+8\approx 16,660254038$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{1+2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(1+2\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Vurder \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+2\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{\left(1+2\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Trekk fra 3 fra 4 for å få 1.

$$\frac{\left(1+2\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$\left(1+2\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 1+2\sqrt{3} med hvert ledd i 2+\sqrt{3}.

$$2+\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kombiner \sqrt{3} og 4\sqrt{3} for å få 5\sqrt{3}.

$$2+5\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$2+5\sqrt{3}+2\times 3$$

Multipliser 2 med 3 for å få 6.

$$2+5\sqrt{3}+6$$

Legg sammen 2 og 6 for å få 8.

$$8+5\sqrt{3}$$