Løs frac{1+sqrt{5}}{sqrt{5}-2}

$$\frac { 1 + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } - 2 }$$

Evaluer

$$3\sqrt{5}+7\approx 13,708203932$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{5}+2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}$$

Vurder \left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kvadrer \sqrt{5}. Kvadrer 2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{5-4}$$

Trekk fra 4 fra 5 for å få 1.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{1}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 1+\sqrt{5} med hvert ledd i \sqrt{5}+2.

$$\sqrt{5}+2+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\sqrt{5}+2+5+2\sqrt{5}$$

Legg sammen 2 og 5 for å få 7.

$$\sqrt{5}+7+2\sqrt{5}$$

Kombiner \sqrt{5} og 2\sqrt{5} for å få 3\sqrt{5}.

$$3\sqrt{5}+7$$