Løs cosA--015

$$\cos A - - 015$$

Differensier med hensyn til A

$$-\sin(A)$$

Fremgangsmåte ved hjelp av definisjon av den deriverte

Multipliser 0 med 15 for å få 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)-0)$$

Multipliser -1 med 0 for å få 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)+0)$$

Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))$$

For funksjonen f\left(x\right) er derivatet grensen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} når h går til 0, hvis denne grensen finnes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}\right)$$

Bruk sumformelen for cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}$$

Faktoriser ut \cos(A).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(A)\sin(h)}{h}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Bruk faktumet at A er en konstant ved beregning av grenser når h går til 0.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grensen \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} er 1.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)$$

For å evaluere grensen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, multipliserer du først telleren og nevneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multipliser \cos(h)+1 ganger \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Bruk enhetsformelen.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grensen \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Bruk faktumet at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig på 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sett inn verdien 0 i uttrykket \cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A).

$$-\sin(A)$$

Evaluer

$$\cos(A)$$