Løs cosalpha

$$\cos \alpha$$

Differensier med hensyn til α

$$-\sin(\alpha )$$

Fremgangsmåte ved hjelp av definisjon av den deriverte

For funksjonen f\left(x\right) er derivatet grensen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} når h går til 0, hvis denne grensen finnes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\cos(\alpha ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\alpha +h)-\cos(\alpha )}{h}\right)$$

Bruk sumformelen for cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\alpha )-\cos(\alpha )}{h}$$

Faktoriser ut \cos(\alpha ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\alpha )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\alpha )\sin(h)}{h}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Bruk faktumet at \alpha er en konstant ved beregning av grenser når h går til 0.

$$\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grensen \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } er 1.

$$\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha )$$

For å evaluere grensen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, multipliserer du først telleren og nevneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multipliser \cos(h)+1 ganger \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Bruk enhetsformelen.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grensen \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Bruk faktumet at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig på 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sett inn verdien 0 i uttrykket \cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\alpha ).

$$-\sin(\alpha )$$

Evaluer

$$\cos(\alpha )$$