Løs =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Faktoriser

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Løsningstrinn

Hvis du vil beregne uttrykket, kan du løse ligningen der den er lik 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -9 og q dividerer den ledende koeffisienten 20. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 20x^{4}+31x^{2}-9 på 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 for å få 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 9 og q dividerer den ledende koeffisienten 10. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 på 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 for å få 5x^{2}+9. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 5 med a, 0 med b, og 9 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Polynom 5x^{2}+9 er ikke beregnet fordi det ikke har noen rasjonelle røtter.

$$5x^{2}+9$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Evaluer

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$