Issolvi 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 7x^{2}+ax+bx-78. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa pożittiv, in-numru pożittiv għandu l-valur assolut akbar min-negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 5.

$$a=-21 b=26$$

Erġa' ikteb 7x^{2}+5x-78 bħala \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Fattur 7x fl-ewwel u 26 fit-tieni grupp.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-3 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-3=0 u 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 7 għal a, 5 għal b, u -78 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Ikkwadra 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Immultiplika -4 b'7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Immultiplika -28 b'-78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Żid 25 ma' 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Immultiplika 2 b'7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-5±47}{14} fejn ± hija plus. Żid -5 ma' 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Iddividi 42 b'14.

$$x=3$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-5±47}{14} fejn ± hija minus. Naqqas 47 minn -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-52}{14} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Żid 78 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Jekk tnaqqas -78 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Naqqas -78 minn 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Meta tiddividi b'7 titneħħa l-multiplikazzjoni b'7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Iddividi \frac{5}{7}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{5}{14}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{5}{14} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{5}{14} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Żid \frac{78}{7} ma' \frac{25}{196} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Fattur x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Naqqas \frac{5}{14} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$