Issolvi 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 6x^{2}+ax+bx-7. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa pożittiv, in-numru pożittiv għandu l-valur assolut akbar min-negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 19.

$$a=-2 b=21$$

Erġa' ikteb 6x^{2}+19x-7 bħala \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Fattur 2x fl-ewwel u 7 fit-tieni grupp.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3x-1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3x-1=0 u 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 6 għal a, 19 għal b, u -7 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Ikkwadra 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Immultiplika -4 b'6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Immultiplika -24 b'-7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Żid 361 ma' 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Immultiplika 2 b'6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-19±23}{12} fejn ± hija plus. Żid -19 ma' 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{4}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-19±23}{12} fejn ± hija minus. Naqqas 23 minn -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-42}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Jekk tnaqqas -7 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Naqqas -7 minn 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Meta tiddividi b'6 titneħħa l-multiplikazzjoni b'6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Iddividi \frac{19}{6}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{19}{12}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{19}{12} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{19}{12} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Żid \frac{7}{6} ma' \frac{361}{144} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Fattur x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Naqqas \frac{19}{12} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$