Issolvi 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Solvi għal t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 5 għal a, -72 għal b, u -108 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Ikkwadra -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Immultiplika -4 b'5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Immultiplika -20 b'-108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Żid 5184 ma' 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

L-oppost ta' -72 huwa 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Immultiplika 2 b'5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} fejn ± hija plus. Żid 72 ma' 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Iddividi 72+12\sqrt{51} b'10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} fejn ± hija minus. Naqqas 12\sqrt{51} minn 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Iddividi 72-12\sqrt{51} b'10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Żid 108 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Jekk tnaqqas -108 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Naqqas -108 minn 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Meta tiddividi b'5 titneħħa l-multiplikazzjoni b'5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Iddividi -\frac{72}{5}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{36}{5}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{36}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{36}{5} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Żid \frac{108}{5} ma' \frac{1296}{25} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Fattur t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Issimplifika.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Żid \frac{36}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$