Issolvi 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Solvi għal r

$$r=3$$

$$r=5$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Żid 45 maż-żewġ naħat.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala r^{2}+ar+br+15. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -8.

$$a=-5 b=-3$$

Erġa' ikteb r^{2}-8r+15 bħala \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Fattur r fl-ewwel u -3 fit-tieni grupp.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni r-5 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi r-5=0 u r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Żid 45 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Jekk tnaqqas -45 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Naqqas -45 minn 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, -24 għal b, u 45 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Ikkwadra -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Żid 576 ma' -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

L-oppost ta' -24 huwa 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni r=\frac{24±6}{6} fejn ± hija plus. Żid 24 ma' 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Iddividi 30 b'6.

$$r=5$$

Issa solvi l-ekwazzjoni r=\frac{24±6}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 6 minn 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Iddividi 18 b'6.

$$r=3$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$r=5 r=3$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Iddividi -24 b'3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Iddividi -45 b'3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Iddividi -8, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -4. Imbagħad żid il-kwadru ta' -4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ikkwadra -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Żid -15 ma' 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Fattur r^{2}-8r+16. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Issimplifika.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$r=5 r=3$$