Issolvi 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Solvi għal n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Naqqas 1141 miż-żewġ naħat.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Naqqas 1141 minn 1 biex tikseb -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala n^{2}+an+bn-380. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa pożittiv, in-numru pożittiv għandu l-valur assolut akbar min-negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 1.

$$a=-19 b=20$$

Erġa' ikteb n^{2}+n-380 bħala \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Fattur n fl-ewwel u 20 fit-tieni grupp.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni n-19 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi n-19=0 u n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Naqqas 1141 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Jekk tnaqqas 1141 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Naqqas 1141 minn 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, 3 għal b, u -1140 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Ikkwadra 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'-1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Żid 9 ma' 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{-3±117}{6} fejn ± hija plus. Żid -3 ma' 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Iddividi 114 b'6.

$$n=19$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{-3±117}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 117 minn -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Iddividi -120 b'6.

$$n=-20$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$n=19 n=-20$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Jekk tnaqqas 1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Naqqas 1 minn 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Iddividi 3 b'3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Iddividi 1140 b'3.

$$n^{2}+n=380$$

Iddividi 1, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{1}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{1}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Żid 380 ma' \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Fattur n^{2}+n+\frac{1}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Issimplifika.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=19 n=-20$$