Issolvi 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Solvi għal x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 24x^{2}+ax+bx+21. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -65.

$$a=-56 b=-9$$

Erġa' ikteb 24x^{2}-65x+21 bħala \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Fattur 8x fl-ewwel u -3 fit-tieni grupp.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3x-7 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3x-7=0 u 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 24 għal a, -65 għal b, u 21 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Ikkwadra -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Immultiplika -4 b'24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Immultiplika -96 b'21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Żid 4225 ma' -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

L-oppost ta' -65 huwa 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Immultiplika 2 b'24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{65±47}{48} fejn ± hija plus. Żid 65 ma' 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{112}{48} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{65±47}{48} fejn ± hija minus. Naqqas 47 minn 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{18}{48} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Jekk tnaqqas 21 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Meta tiddividi b'24 titneħħa l-multiplikazzjoni b'24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-21}{24} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Iddividi -\frac{65}{24}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{65}{48}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{65}{48} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{65}{48} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Żid -\frac{7}{8} ma' \frac{4225}{2304} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Fattur x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Żid \frac{65}{48} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$