Issolvi 18x+11y=522text{and}10x=112-16y

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

Solvi għal x, y

$$x=40$$

$$y=-18$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 16y maż-żewġ naħat.

$$10x+16y=112$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$18x+11y=522$$

Naqqas 11y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$18x=-11y+522$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

Immultiplika \frac{1}{18} b'-11y+522.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Issostitwixxi -\frac{11y}{18}+29 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

Immultiplika 10 b'-\frac{11y}{18}+29.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

Żid -\frac{55y}{9} ma' 16y.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Naqqas 290 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{89}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-18$$

Issostitwixxi -18 għal y f'x=-\frac{11}{18}y+29. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

Immultiplika -\frac{11}{18} b'-18.

$$x=11+29$$

Żid 29 ma' 11.

$$x=40$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=40,y=-18$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 16y maż-żewġ naħat.

$$10x+16y=112$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=40,y=-18$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 16y maż-żewġ naħat.

$$10x+16y=112$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Biex tagħmel 18x u 10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'18.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Issimplifika.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Naqqas 180x+288y=2016 minn 180x+110y=5220 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

Żid 180x ma' -180x. 180x u -180x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$110y-288y=5220-2016$$

Żid 110y ma' -288y.

$$-178y=5220-2016$$

Żid 5220 ma' -2016.

$$-178y=3204$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-178.

$$y=-18$$

Issostitwixxi -18 għal y f'10x+16y=112. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

Immultiplika 16 b'-18.

$$10x-288=112$$

Żid 288 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=40$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=40,y=-18$$