Issolvi -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Solvi għal y, x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1.875$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Ikkombina x u -3x biex tikseb -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Ikkombina -2x u 8x biex tikseb 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-2y=6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6y+2x=12$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=-2x+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Issostitwixxi \frac{x}{3}-2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Immultiplika -2 b'\frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Żid -\frac{2x}{3} ma' 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{16}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{3}{8}$$

Issostitwixxi \frac{3}{8} għal x f'y=\frac{1}{3}x-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'\frac{3}{8} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Żid -2 ma' \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Ikkombina x u -3x biex tikseb -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Ikkombina -2x u 8x biex tikseb 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-2y=6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Ikkombina x u -3x biex tikseb -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Ikkombina -2x u 8x biex tikseb 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-2y=6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Biex tagħmel -6y u -2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Issimplifika.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Naqqas 12y-36x=-36 minn 12y-4x=-24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Żid 12y ma' -12y. 12y u -12y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x+36x=-24+36$$

Żid -4x ma' 36x.

$$32x=-24+36$$

Żid -24 ma' 36.

$$32x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Issostitwixxi \frac{3}{8} għal x f'-2y+6x=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Immultiplika 6 b'\frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Naqqas \frac{9}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$