Issolvi sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

Solvi għal x

$$x=5$$

$$x=1$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Naqqas -\sqrt{x-1} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{3x+1} bil-power ta' 2 u tikseb 3x+1.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x-1} bil-power ta' 2 u tikseb x-1.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

Naqqas 1 minn 4 biex tikseb 3.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Naqqas 3+x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

Biex issib l-oppost ta' 3+x, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

Naqqas 3 minn 1 biex tikseb -2.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

Ikkombina 3x u -x biex tikseb 2x.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula 4 bil-power ta' 2 u tikseb 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x-1} bil-power ta' 2 u tikseb x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 16 b'x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Naqqas 16x miż-żewġ naħat.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Ikkombina -8x u -16x biex tikseb -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Żid 16 maż-żewġ naħat.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Żid 4 u 16 biex tikseb 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala x^{2}+ax+bx+5. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. L-uniku par bħal dawn huwa s-soluzzjoni tas-sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Erġa' ikteb x^{2}-6x+5 bħala \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Fattur x fl-ewwel u -1 fit-tieni grupp.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-5 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-5=0 u x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Issostitwixxi 5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Issimplifika. Il-valur x=5 jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$2=2$$

Issostitwixxi 1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Issimplifika. Il-valur x=1 jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$2=2$$

Elenka s-soluzzjonijiet kollha ta’ \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$