Issolvi {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+2y=-33$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-2y-33$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-33}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

Żid -\frac{2y}{7} ma' 9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

Żid \frac{33}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{61}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

Immultiplika -\frac{2}{7} b'8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

Żid -\frac{33}{7} ma' -\frac{16}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-7,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Biex tagħmel 7x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

Issimplifika.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

Naqqas 7x+63y=455 minn 7x+2y=-33 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

Żid 7x ma' -7x. 7x u -7x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-63y=-33-455$$

Żid 2y ma' -63y.

$$-61y=-33-455$$

Żid -33 ma' -455.

$$-61y=-488$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-61.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x+9y=65. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+9\times 8=65$$

Immultiplika 9 b'8.

$$x+72=65$$

Naqqas 72 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=8$$