Issolvi {l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=4$$

$$b=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4a+2b=34$$

Naqqas 2b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4a=-2b+34$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-2b+34.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-b+17}{2} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 16a+3b=91.

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

Immultiplika 16 b'\frac{-b+17}{2}.

$$-8b+136+3b=91$$

Żid -8b ma' 3b.

$$-5b+136=91$$

Naqqas 136 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5b=-45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$b=9$$

Issostitwixxi 9 għal b f'a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'9.

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

Żid \frac{17}{2} ma' -\frac{9}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=4,b=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=4,b=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

Biex tagħmel 4a u 16a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'16 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

Issimplifika.

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

Naqqas 64a+12b=364 minn 64a+32b=544 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

Żid 64a ma' -64a. 64a u -64a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$32b-12b=544-364$$

Żid 32b ma' -12b.

$$20b=544-364$$

Żid 544 ma' -364.

$$20b=180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$b=9$$

Issostitwixxi 9 għal b f'16a+3b=91. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$16a+3\times 9=91$$

Immultiplika 3 b'9.

$$16a+27=91$$

Naqqas 27 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16a=64$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$a=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=4,b=9$$