Issolvi {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-2y=-15$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+4y=3$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-4y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4y-3}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Żid \frac{4y}{5} ma' -2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Żid \frac{3}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{6}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Żid -\frac{3}{5} ma' \frac{48}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-2y=-15$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$x-2y=-15$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Biex tagħmel -5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Issimplifika.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Naqqas -5x+10y=75 minn -5x+4y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Żid -5x ma' 5x. -5x u 5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-10y=3-75$$

Żid 4y ma' -10y.

$$-6y=3-75$$

Żid 3 ma' -75.

$$-6y=-72$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'x-2y=-15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-2\times 12=-15$$

Immultiplika -2 b'12.

$$x-24=-15$$

Żid 24 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=12$$