Issolvi {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=17$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+17}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+5y=-22.

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

Immultiplika -2 b'\frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

Żid -\frac{6y}{5} ma' 5y.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

Żid \frac{34}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

Żid \frac{17}{5} ma' -\frac{12}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

Issimplifika.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

Naqqas -10x+25y=-110 minn -10x+6y=-34 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-25y=-34+110$$

Żid 6y ma' -25y.

$$-19y=-34+110$$

Żid -34 ma' 110.

$$-19y=76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'-2x+5y=-22. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

Immultiplika 5 b'-4.

$$-2x-20=-22$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-4$$