Issolvi {l}{y=7x-1}{y=-x-9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x - 1 } \\ { y = - x - 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-1$$

$$y=-8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-7x=-1$$

Żid 7x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=7x-1$$

Issostitwixxi 7x-1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+x=-9.

$$7x-1+x=-9$$

Żid 7x ma' x.

$$8x-1=-9$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y=7x-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=7\left(-1\right)-1$$

Immultiplika 7 b'-1.

$$y=-7-1$$

Żid -1 ma' -7.

$$y=-8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-8,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{7}{8}\left(-9\right)\\-\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-8,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=-1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Naqqas y+x=-9 minn y-7x=-1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-7x-x=-1+9$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-7x-x=-1+9$$

Żid -7x ma' -x.

$$-8x=-1+9$$

Żid -1 ma' 9.

$$-8x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y+x=-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-1=-9$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-8,x=-1$$