Issolvi {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ikkombina y u y biex tikseb 2y.

$$x+2y=315.9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-6x=0$$

Żid 6x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=6x$$

Issostitwixxi 6x għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

Immultiplika 2 b'6x.

$$12x+x=315.9$$

Żid 12x ma' x.

$$13x=315.9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$x=24.3$$

Issostitwixxi 24.3 għal x f'y=6x. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=6\times 24.3$$

Immultiplika 6 b'24.3.

$$y=145.8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=145.8,x=24.3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ikkombina y u y biex tikseb 2y.

$$x+2y=315.9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ikkombina y u y biex tikseb 2y.

$$x+2y=315.9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Biex tagħmel y u 2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Issimplifika.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

Naqqas 2y+x=315.9 minn 2y-12x=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Żid 2y ma' -2y. 2y u -2y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12x-x=-315.9$$

Żid -12x ma' -x.

$$-13x=-315.9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$x=\frac{243}{10}$$

Issostitwixxi \frac{243}{10} għal x f'2y+x=315.9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

Naqqas \frac{243}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{729}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$