Issolvi {l}{y=3x-4}{y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 4 } \\ { y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-3x=-4$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3x-4$$

Issostitwixxi 3x-4 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-x=1.

$$3x-4-x=1$$

Żid 3x ma' -x.

$$2x-4=1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal x f'y=3x-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=3\times \frac{5}{2}-4$$

Immultiplika 3 b'\frac{5}{2}.

$$y=\frac{15}{2}-4$$

Żid -4 ma' \frac{15}{2}.

$$y=\frac{7}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Naqqas y-x=1 minn y-3x=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-3x+x=-4-1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3x+x=-4-1$$

Żid -3x ma' x.

$$-2x=-4-1$$

Żid -4 ma' -1.

$$-2x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5}{2} għal x f'y-x=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{5}{2}=1$$

Żid \frac{5}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{7}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$