Issolvi {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{3} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3y-x=-9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3y-x=-9$$

Żid x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=x-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

Issostitwixxi \frac{x}{3}-3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

Żid \frac{x}{3} ma' 4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{3}x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=0$$

Issostitwixxi 0 għal x f'y=\frac{1}{3}x-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{3} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3y-x=-9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-3,x=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{3} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3y-x=-9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Biex tagħmel 3y u y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

Issimplifika.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

Naqqas 3y+12x=-9 minn 3y-x=-9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-x-12x=-9+9$$

Żid -x ma' -12x.

$$-13x=-9+9$$

Żid -9 ma' 9.

$$-13x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$x=0$$

Issostitwixxi 0 għal x f'y+4x=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=0$$