Issolvi {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, z

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-29z=15$$

Żid 29z maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=29z+15$$

Issostitwixxi 29z+15 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

Immultiplika 4 b'29z+15.

$$116z+60+3z=-2$$

Żid 116z ma' 3z.

$$119z+60=-2$$

Naqqas 60 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$119z=-62$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Issostitwixxi -\frac{62}{119} għal z f'x=29z+15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

Immultiplika 29 b'-\frac{62}{119}.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

Żid 15 ma' -\frac{1798}{119}.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u z.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Biex tagħmel x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

Issimplifika.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

Naqqas 4x+3z=-2 minn 4x-116z=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-116z-3z=60+2$$

Żid -116z ma' -3z.

$$-119z=60+2$$

Żid 60 ma' 2.

$$-119z=62$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Issostitwixxi -\frac{62}{119} għal z f'4x+3z=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

Immultiplika 3 b'-\frac{62}{119}.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

Żid \frac{186}{119} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$