Issolvi {l}{x-2y=-1}{3y=x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 1 } \\ { 3 y = x + 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-x=4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-2y=-1,-x+3y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-2y=-1$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=2y-1$$

Issostitwixxi 2y-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+3y=4.

$$-\left(2y-1\right)+3y=4$$

Immultiplika -1 b'2y-1.

$$-2y+1+3y=4$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+1=4$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=2y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\times 3-1$$

Immultiplika 2 b'3.

$$x=6-1$$

Żid -1 ma' 6.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-x=4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-2y=-1,-x+3y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-1\right)+2\times 4\\-1+4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$3y-x=4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-2y=-1,-x+3y=4$$

Biex tagħmel x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-x-\left(-2y\right)=-\left(-1\right),-x+3y=4$$

Issimplifika.

$$-x+2y=1,-x+3y=4$$

Naqqas -x+3y=4 minn -x+2y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+2y-3y=1-4$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-3y=1-4$$

Żid 2y ma' -3y.

$$-y=1-4$$

Żid 1 ma' -4.

$$-y=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'-x+3y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+3\times 3=4$$

Immultiplika 3 b'3.

$$-x+9=4$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=3$$