Issolvi {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2b maż-żewġ naħat.

$$a+2b=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2a maż-żewġ naħat.

$$2a-5b+2a=15$$

Ikkombina 2a u 2a biex tikseb 4a.

$$4a-5b=15$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$a+2b=15$$

Naqqas 2b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=-2b+15$$

Issostitwixxi -2b+15 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Immultiplika 4 b'-2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Żid -8b ma' -5b.

$$-13b+60=15$$

Naqqas 60 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-13b=-45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Issostitwixxi \frac{45}{13} għal b f'a=-2b+15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Immultiplika -2 b'\frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Żid 15 ma' -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2b maż-żewġ naħat.

$$a+2b=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2a maż-żewġ naħat.

$$2a-5b+2a=15$$

Ikkombina 2a u 2a biex tikseb 4a.

$$4a-5b=15$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2b maż-żewġ naħat.

$$a+2b=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 2a maż-żewġ naħat.

$$2a-5b+2a=15$$

Ikkombina 2a u 2a biex tikseb 4a.

$$4a-5b=15$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Biex tagħmel a u 4a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Issimplifika.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Naqqas 4a-5b=15 minn 4a+8b=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Żid 4a ma' -4a. 4a u -4a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8b+5b=60-15$$

Żid 8b ma' 5b.

$$13b=60-15$$

Żid 60 ma' -15.

$$13b=45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Issostitwixxi \frac{45}{13} għal b f'4a-5b=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Immultiplika -5 b'\frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Żid \frac{225}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$