Issolvi {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x+my+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x+my=-3$$

Naqqas my miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'-my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Immultiplika m b'-\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Żid -\frac{m^{2}y}{9} ma' 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Naqqas -\frac{m}{3}+2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{6+m} għal y f'x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{m}{9} b'-\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Żid -\frac{1}{3} ma' \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Biex tagħmel 9x u mx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'm u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Issimplifika.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Naqqas 9mx+36y+18=0 minn 9mx+m^{2}y+3m=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Żid 9mx ma' -9mx. 9mx u -9mx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Żid m^{2}y ma' -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Naqqas -18+3m miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{6+m} għal y f'mx+4y+2=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Żid -\frac{12}{6+m} ma' 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Naqqas \frac{2m}{6+m} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Solvi għal x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x+my+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x+my=-3$$

Naqqas my miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'-my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Immultiplika m b'-\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Żid -\frac{m^{2}y}{9} ma' 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Naqqas -\frac{m}{3}+2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{6+m} għal y f'x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{m}{9} b'-\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Żid -\frac{1}{3} ma' \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Biex tagħmel 9x u mx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'm u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Issimplifika.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Naqqas 9mx+36y+18=0 minn 9mx+m^{2}y+3m=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Żid 9mx ma' -9mx. 9mx u -9mx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Żid m^{2}y ma' -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Naqqas -18+3m miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{6+m} għal y f'mx+4y+2=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Immultiplika 4 b'-\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Żid -\frac{12}{6+m} ma' 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Naqqas \frac{2m}{6+m} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'm.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$