Issolvi {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal v billi tiżola v fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9v+2w=7$$

Naqqas 2w miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9v=-2w+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'-2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

Issostitwixxi \frac{-2w+7}{9} għal v fl-ekwazzjoni l-oħra, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

Immultiplika 3 b'\frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

Żid -\frac{2w}{3} ma' -8w.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

Naqqas \frac{7}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{26}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$w=\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1}{2} għal w f'v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal v direttament.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

Immultiplika -\frac{2}{9} b'\frac{1}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Żid \frac{7}{9} ma' -\frac{1}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$v=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi v u w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Biex tagħmel 9v u 3v ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

Naqqas 27v-72w=-18 minn 27v+6w=21 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

Żid 27v ma' -27v. 27v u -27v jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6w+72w=21+18$$

Żid 6w ma' 72w.

$$78w=21+18$$

Żid 21 ma' 18.

$$78w=39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'78.

$$w=\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1}{2} għal w f'3v-8w=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal v direttament.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

Immultiplika -8 b'\frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3v=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$v=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$