Issolvi {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+5y=-3$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-5y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-5y-3.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-5y-3}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

Immultiplika -9 b'\frac{-5y-3}{7}.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

Żid \frac{45y}{7} ma' y.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

Naqqas \frac{27}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{52}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

Immultiplika -\frac{5}{7} b'-2.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

Żid -\frac{3}{7} ma' \frac{10}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Biex tagħmel 7x u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

Issimplifika.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

Naqqas -63x+7y=-77 minn -63x-45y=27 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

Żid -63x ma' 63x. -63x u 63x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-45y-7y=27+77$$

Żid -45y ma' -7y.

$$-52y=27+77$$

Żid 27 ma' 77.

$$-52y=104$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-52.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-9x+y=-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x-2=-11$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$