Issolvi {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-6y=-30$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=6y-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-30+6y.

$$x=y-5$$

Issostitwixxi y-5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -10x+6y=22.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

Immultiplika -10 b'y-5.

$$-10y+50+6y=22$$

Żid -10y ma' 6y.

$$-4y+50=22$$

Naqqas 50 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=y-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7-5$$

Żid -5 ma' 7.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Biex tagħmel 6x u -10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

Issimplifika.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

Naqqas -60x+36y=132 minn -60x+60y=300 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

Żid -60x ma' 60x. -60x u 60x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$60y-36y=300-132$$

Żid 60y ma' -36y.

$$24y=300-132$$

Żid 300 ma' -132.

$$24y=168$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'-10x+6y=22. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-10x+6\times 7=22$$

Immultiplika 6 b'7.

$$-10x+42=22$$

Naqqas 42 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=7$$