Issolvi {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$6x-7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-14y=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-7y=4$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=7y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Immultiplika 2 b'\frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Żid \frac{7y}{3} ma' -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Naqqas \frac{4}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{35}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal y f'x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Immultiplika \frac{7}{6} b'\frac{1}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' \frac{7}{30} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{9}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$6x-7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-14y=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$6x-7y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 1 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-14y=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Biex tagħmel 6x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Naqqas 12x-84y=-6 minn 12x-14y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y+84y=8+6$$

Żid -14y ma' 84y.

$$70y=8+6$$

Żid 8 ma' 6.

$$70y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'70.

$$y=\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{1}{5} għal y f'2x-14y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Immultiplika -14 b'\frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Żid \frac{14}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{9}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$