Issolvi {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=600$$

$$y=400$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+5y=5600$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-5y+5600$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

Immultiplika 55 b'-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

Żid -\frac{275y}{6} ma' 46y.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Naqqas \frac{154000}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'6.

$$y=400$$

Issostitwixxi 400 għal y f'x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{6} b'400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Żid \frac{2800}{3} ma' -\frac{1000}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=600$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=600,y=400$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=600,y=400$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Biex tagħmel 6x u 55x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'55 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Issimplifika.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Naqqas 330x+276y=308400 minn 330x+275y=308000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

Żid 330x ma' -330x. 330x u -330x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$275y-276y=308000-308400$$

Żid 275y ma' -276y.

$$-y=308000-308400$$

Żid 308000 ma' -308400.

$$-y=-400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=400$$

Issostitwixxi 400 għal y f'55x+46y=51400. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$55x+46\times 400=51400$$

Immultiplika 46 b'400.

$$55x+18400=51400$$

Naqqas 18400 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$55x=33000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'55.

$$x=600$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=600,y=400$$