Issolvi {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=8$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi \frac{8+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

Immultiplika 10 b'\frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

Żid 2y ma' 3y.

$$5y+16=6$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Żid \frac{8}{5} ma' -\frac{2}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Biex tagħmel 5x u 10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Issimplifika.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Naqqas 50x+15y=30 minn 50x-10y=80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

Żid 50x ma' -50x. 50x u -50x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y-15y=80-30$$

Żid -10y ma' -15y.

$$-25y=80-30$$

Żid 80 ma' -30.

$$-25y=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'10x+3y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

Immultiplika 3 b'-2.

$$10x-6=6$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$