Issolvi {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=1800$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+1800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Issostitwixxi \frac{3y}{5}+360 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

Immultiplika 6 b'\frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

Żid \frac{18y}{5} ma' -4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Naqqas 2160 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1400$$

Issostitwixxi 1400 għal y f'x=\frac{3}{5}y+360. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'1400.

$$x=840+360$$

Żid 360 ma' 840.

$$x=1200$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1200,y=1400$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1200,y=1400$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Biex tagħmel 5x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Issimplifika.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Naqqas 30x-20y=8000 minn 30x-18y=10800 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

Żid 30x ma' -30x. 30x u -30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-18y+20y=10800-8000$$

Żid -18y ma' 20y.

$$2y=10800-8000$$

Żid 10800 ma' -8000.

$$2y=2800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=1400$$

Issostitwixxi 1400 għal y f'6x-4y=1600. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-4\times 1400=1600$$

Immultiplika -4 b'1400.

$$6x-5600=1600$$

Żid 5600 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=7200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=1200$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1200,y=1400$$