Issolvi {l}{5x-3y=18}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 18 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=18$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'18+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18+3y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=5.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}\right)+y=5$$

Immultiplika 2 b'\frac{18+3y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}+y=5$$

Żid \frac{6y}{5} ma' y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=5$$

Naqqas \frac{36}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{18}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-1.

$$x=\frac{-3+18}{5}$$

Żid \frac{18}{5} ma' -\frac{3}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 18+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 18+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 18,5\times 2x+5y=5\times 5$$

Issimplifika.

$$10x-6y=36,10x+5y=25$$

Naqqas 10x+5y=25 minn 10x-6y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-6y-5y=36-25$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y-5y=36-25$$

Żid -6y ma' -5y.

$$-11y=36-25$$

Żid 36 ma' -25.

$$-11y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'2x+y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-1=5$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-1$$